线性代数补充笔记

1. 行列式

1. 行列式

1.1. 二阶行列式的几何意义

\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\] 我们取两个向量 $\vec{a} = (a_{11}, a_{12})$ 和 $\vec{b} = (a_{21}, a_{22})$ ,其实就是取上述矩阵的行向量。设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 夹角为 $\theta$ , $\vec{b}$ 与 $x$ 正半轴夹角为 $\beta$ , $\vec{a}$ 与 $x$ 正半轴夹角为 $\alpha$ ,且 $\theta = \beta - \alpha$ \[S = \vec{a} \times \vec{b} \\ = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin{\theta} \\ = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin{\beta - \alpha} = \left| \vec{a} \right| \cos{\alpha} \left| \vec{b} \right| \sin{\beta} - \left| \vec{b} \right| \cos{\beta} \left| \vec{a} \right| \sin{\alpha} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}\]

1.2. 三阶行列式的几何意义

以行列式的行向量为三条棱的六面体的体积。

向量代数的混合积。

1.3. 逆序数

1.3.1. 排列的奇偶性

排列的逆序数为奇数，则为奇排列；排列的逆序数为偶数，则为偶排列。

1.3.2. 符号

$\tau$ 英文名称 tau ,英文发音 [tɔ:]

$\tau(a_1 a_2 a_3)$ 表示排列 $a₁ a₂ a₃$的逆序数

1.3.3. 找逆序数的方法

按照排列的顺序找 $\tau(32514) = 2 + 1 + 2 = 5$ 即 32, 31, 21, 51, 54
按照数字从小到大找 $\tau(32514) = 3 + 1 + 0 + 1 + 0 = 5$ 即 1的前面比它大的有3 2 5, 2的前面比它大的有3, 以此类推

1.3.4. 常见逆序数

$\tau(n\,(n-1)\,(n-2)\,\cdots\,2\,1) = (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1 + 0 = \frac{n(n-1)}{2}$

1.4. 对换

1.4.1. 定义

将一个排列中任意两个元素对调，其余元素不动，这种手续叫做对换。

1.4.2. 定理

一个排列任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变。 $\tau(7534216) = 5 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 0 = 15$ 为奇排列。 $\tau(7\textbf{4}3\textbf{5}216) = 5 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 + 0 = 14$ 为偶排列。

1.5. n阶行列式

1.5.1. 定义

共有$n^2$ 个元素,取自不同行不同列的n个元素的和或者差，叫作n阶行列式，记作$D_n$。 n阶行列式的展开式共有 n! 项。

1.5.2. 计算公式

固定行标

\[D_n = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 p3 \cdots p_n)} a_{1 p_1}a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}\] 其中，每一项的行标是固定的标准次序，而列标则可以取 1 - n 所有可能的排列，最终把他们加和。
固定列标

\[D_n = \sum (-1)^{\tau(q_1 q_2 p3 \cdots q_n)} a_{q_1 1}a_{q_2 2} \cdots a_{q_2 2}\] 其中，每一项的列标是固定的标准次序，而行标则可以取 1 - n 所有可能的排列，最终把他们加和。

1.6. 行列式的性质

1.6.1. 转置行列式等于原行列式

$D^T = D$

证明

\[D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\quad D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\] \[令D^T = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}\\ \end{vmatrix}，则b_{ij} = a_{ji},i = 1 \cdots n,j = 1 \cdots n\] \[D^T = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} b_{1 p_1} b_{2 p_2} \cdots b_{n p_n} = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{p_1 1} b_{p_2 2} \cdots b_{p_n n} = D\]

1.6.2. 互换行列式某两行（列）行列式改变符号

$D^{'} = -D, \quad D^{'}$ 是 D 交换第i行和第j行之后的行列式（$i \neq j$）。

证明

\[\begin{split}D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots\\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_i \cdots p_j \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{i p_i} \cdots a_{j p_j} \cdots a_{n p_n}\\ \\ D^{'} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn}\\ \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_j \cdots p_i \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{i p_j} \cdots a_{j p_i} \cdots a_{n p_n}\end{split}\] \[\begin{split}\because (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_i \cdots p_j \cdots p_n)} + (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_j \cdots p_i \cdots p_n)} = 0\\ \therefore D^{'} + D = 0\\ \therefore D^{'} = -D\end{split}\]
推论

如果行列式有两行（列）完全相同，行列式为零。
1. 证明
  
  交换相同的两行（列）之后得 $D = -D \therefore D = 0$

1.6.3. 行列式某一行（列）都乘以同一常数k,等于k乘以此行列式

证明

\[\begin{split}D = \sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots ka_{i p_i} \cdots a_{n p_n}\\ \\ = k\sum (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{i p_i} \cdots a_{n p_n}\\ \\ = kD\end{split}\]
推论

行列式某一行（列）所有元素的公因子能够提到行列式的前面。

1.6.4. 行列式某两行（列）成比例，行列式为零

1.6.5. 行列式某一行（列）都是两个元素的和，则可以拆成两个行列式和的形式

\[\begin{split}D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \\ = D_1 + D_2\end{split}\]

证明

\[\begin{split}D = \sum (-1)^{p_1 p_2 \cdots p_n} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots (a_{i p_i} + b_{i p_i}) \cdots a_{n p_n}\\ \\ = \sum [(-1)^{p_1 p_2 \cdots p_n} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{i p_i} \cdots a_{n p_n} + (-1)^{p_1 p_2 \cdots p_n} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots b_{i p_i} \cdots a_{n p_n}]\\ \\ = \sum (-1)^{p_1 p_2 \cdots p_n} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{i p_i} \cdots a_{n p_n} + \sum (-1)^{p_1 p_2 \cdots p_n} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots b_{i p_i} \cdots a_{n p_n}\\ \\ = D_1 + D_2\end{split}\]

1.6.6. 把行列式某一行（列）的元素乘以k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变

证明

\[\begin{split}D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{i1} + ka_{11} & a_{i2} + ka_{12} & \cdots & a_{in} + ka_{1n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots\\ ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \\ = D + 0 = D\end{split}\]